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李超代数余伴随表示的刻画pdf
时间:2022-04-24 10:35来源:未知 作者:-1 点击:174

  摘要 轨道方法对表示论中许多困难(遗留)问题的突破有重要作用。在余伴随轨道 研究中,有一个基本的结果:对一般线性李代数gIG),它的子代数的对偶空间可以 实现为gIG)的某个子空间。本文将此结果整理并严格证明,同时将此结果推广到了 李超代数的情形,得到了类似的结论:假设glbI玎)是一般线性李超代数,g是它的 李超子代数,有对偶空间g+,首先定义了g在g’上的余伴随作用,使其成为g一模, 其次证明了gIbl,z)中存在子空间形可以作成g一模,并模同构于g‘。最后,给出了 代表性的例子,显示了这样刻画余伴随表示的优越性。具体来说,本文主要包括以 下几部分: 第1章,回忆了李代数的一些准备知识,引用了轨道方法中余伴随表示的定义 和描述。 第2章,对李代数余伴随表示的直观刻画进行了整理和严格的证明,并举出了 几个代表性的例子。 第3章,定义了李超代数的余伴随表示,将李代数余伴随表示的结论推广到了 李超代数的情形,给出了严格的证明。 关键词:李代数;李超代数;余伴随表示; Abstract Orbitalmethodhasan in rolethe of difficult important breakthroughmany problems leftinthe the isabasicresult: representationtheory.When studyingcoadjointorbit,there asfor the linearLie dual ofits Canberealized general algebra space gl(n),the subalgebra asa of this and subspacegIG).Thisresult,inpaper,isstrictly extendedtothe proved caseofmeLie asimilarconclusion:、析mthe that superalgebra.Weget assumption the linearLie its dual gl(mn)is general superalgebra,gsubsuperalgebra谢mspaceg‘, wedefined the actionof onthedual itinto fnsfly coadjoint g spaceg’,making a we that g—module;secondlythereexistsa in Canbe prove subspace gl(m甩)which madeintoa and to a g—moduleisomo叫c g+;Finally,wegiverepresentativeexample toshowthe ofthe of superiority descriptioncoadjoint includesthe sections: paper following In some inLie introduce Chapter1,recall the preparationknowledgealgebra,and definitionand of inorbitalmethod. descriptioncoadjointrepresentation InChapter and theintuitive of oint 2,organizestrictlyprove descriptioncoadj ofLie citeafew representationalgebra,andrepresentative examples. In the ofLie the 3,define Chapter coadjointrepresentation superalgebra,emend resultsofLie tothecaseofLie a algebra superalgebra,andgiverigorousproof. words:Lie Key algebra;Liesuperalgebra;coadjoint representation 目录 引言……………………………………………………………………………………………………………………··l 第1章李代数与余伴随表示预备知识…………………………………………………··3 1.1李代数预备知识………………………………………………………………………·3 1.2李群的余伴随表示……………………………………………………………………·4 第2章李代数余伴随表示的刻画…………………………………………………………·7 第3章李超代数余伴随表示的刻画…………………… 3.1李超代数预备知识……………………………………………………………………11 3.2李超代数余伴随表示的刻画…………………………………………………………14 结论………………………………………………………………………” 参考文献IlOlIlllIIII 攻读学位期问的研究成果……………………………………………………………………·22 致谢…………………………………………………………………………………………………………………………··23 学位论文独创性声明、学位论文知识产权权属声明…………………………………一24 引言 己I吉 丁l 目 代数表示理论是代数学研究中的一个重要课题,李群、李代数和群论能够应用 于许多数学分支与其他学科,在某种意义上可以说就是它们的表示理论的应用。所 谓表示就是将抽象的李代数(李群、群等)中元素具体化为线性空间的线性变换, 而对于线性变换,学过高等代数的人都非常熟悉,基于这样的具体化,原来代数结 构的很多问题也就变得简单了。 李代数是一种非常特殊的代数,其主要特点就是它不但是非结合的也是非交换 的一类代数。20世纪初,Caftan和Weyl在复半单纯李代数的结构与表示方面得到很 多完美的结论。半单纯李代数的理论不仅在数学与物理的很多分支中有很大的应用, 而且在它的自身结果中把深度和完备性准确的结合起来了,这也是它自身的魅力所 在。详细内容参看文献[1】【2】。 李超代数也称为Z’阶化李代数,是李代数的一种自然的推广,有着很强的物理 背景。由Ado.1wasawa定理知道每一个有限维李代数都同构于某个线性李代数,如 果把李代数看作矩阵形式,那么李超代数就是2x2的分块矩阵形式。近年来,关于 李超代数的研究在物理学界和数学界都引起极大关注,相关的研究也取得了很大进 展。关于李超代数的最新的研究成果可参看文献[5】。 在代数表示论中,伴随表示是重要的一种表示。所谓伴随表示就是将代数结构 自身看作表示的空间,具体来说,设X是李代数g的一个元素,对于每一Y∈g,定 H adX(X∈g)是g到 义口趔p)=防,Y】,则adX是g的一个线性变换,并fl_ad:X gI(g)的一个同态映射(利用雅可比恒等式很容易验证)。因此,∽,g)是g的一个表示, 表示空间就是g本身,称为g的伴随表示。在研究李群、李代数、李超代数等代数 结构的结构和表示时,伴随表示是重要的工具。例如,半单李代数的结构和表示的 研究已经取得了深刻而又完美的结果,在这一过程中,Killing型发挥着重要作用, j K(x,y)=护G姗),其中ad:ggl(g)就是李代数g的伴随表示。对偶于伴随表示, 我们有余伴随表示,即底空间是g的对偶空间的表示。由于对偶空间的元素是线性 函数,所以余伴随表示相对比较抽象,应用起来并不方便,如果能将其直观地刻画, 应用价值也就随之变大。在轨道方法的研究中,李群、李代数的余伴随表示得到了 直观地描述。 青岛大学硕士学位论文 轨道方法起源于幂零李群表示的研究,用它可以有效地描述不可约酉表示的等 价类(见文献【3】)。对一般的李群G,它典范作用在李代数g的对偶空间上,该作用 的轨道就是余伴随轨道。因此,对李代数的对偶空间的刻画是一个基本的问题。在 文献【4】中,对一般线性李代数glG),它的子代数的对偶空间可以实现为gIG)的某 个子空间。这个结果在余伴随轨道的研究中起着基本的作用。由于李超代数是李代 数的Z’阶化推广,自然想到能否将此结果推广到李超代数上去,因此,本文的目的 是把此结果推广到李超代数的情形,从而可以更好的理解轨道方法在表示论中的作 用。 2 第1章李代数与余伴随表示预备知识 第1章李代数与余伴随表示预备知识 1.1李代数预备知识 本节李代数的基本知识见参考文献【l】。 j 定义1.1设g是域七上的向量空间,带有括积运算g×gg,记为G,y)Hk,y】, 称g是域k上的李代数,如果满足以下条件: (L1)括积运算是双线)k,陟,zll+[y,【Z,xll+k,b,yll=0,(Vx,Y,z∈g)。 定义1.2设g,g’是域k上的李代数,称线性映射f:g_g’为李代数同态,如 果/满足/肚,6D=L厂Q)l厂0)】,Va,b∈g。 例1.1设矿是域k上的线性空间,则y上线性变换全体构成了一个线性空间, 关于这个运算构成李代数,称为一般线性李代数。取定V的一组基,则gI缈)等同于 力阶矩阵构成的集合,记为gl。G)。 定义1.3李代数同态矽:g÷gI缈)称为李代数g的表示。 Vj 定义1.4向量空间V,带有运算gxV,G,v)Hx.1,,称V是g一模,如果 满足以下条件:(x,Y∈g;v,w∈V;口,b∈k) (M1)伍+砂)l,=口G.v)+6◇.v): (M2)x.(av+6w)=口G.v)+6G.w); (M3)k,ylv=x.Y.v—y.x.v。 V是g.模等价于妒:g专gl(v),矽(口如)=a.v是g的表示。 例1.2伴随表示:设g是域七上的李代数,对觇∈g, 定义gl(g)中一个元素础 1 青岛大学硕士学位论文 为: aax(y)=[x,Y】,跏∈g。 则g到gl(g)的映射x寸aak是g的一个表示,称为g的伴随表示,记作Qd,g)。 例1.3对偶模:设y是g一模,则对偶空间y’也可变成g一模,称为对偶模,这 时对f∈V’,v∈V,x∈g定义 G.厂xv)=一I(x.v)。 则称g是半单李代数。 定义1.6设g是域七上的李代数, 代数。 例1.4当李代数g交换,半单,或g=gl。@)时,g均是简约李代数。 定理1.1设≯:g—gl缈)是半单李代数g的有限维表示,则≯是完全可约的。 1.2李群的余伴随表示 该节引用了轨道方法中余伴随表示的定义和描述,是本篇论文思路的出处,详 细内容见参考文献【4】。 设G是李群(特例G是矩阵群,即G同时是一般线性群吼G,R)的子群和光滑 H 的子流形),g=Lie(G)是G在单位元e处的切空间Z(G),么b):xgxg。1是G到 自身的内在同构,在此作用下单位元e保持不动,所以可以定义导映射 H 0Q)).G):gg,通常记此映射为彳db)。 映射gH彳db)称为G的伴随表示。若G是矩阵群,则g是一般线性李代数的 子空间,此时伴随表示是矩阵共轭: Ad(g)X=gXg~,x∈g,g∈G。 (1) 考虑g的对偶空间,记为g+。回顾对于群G的线性表示仞,y)可以定义对偶表 4 第1章李代数与余伴随表示预备知识 示仁‘,y’): 万‘Q):=万(g.1)., 其中等式右边的的星号是由下面定义给出的V+上的对偶算子: Vv∈V.f∈V‘。 (彳’厂,1,):=(厂,彳V), 特别的,对偶于G在g上的伴随表不,有G在g’上的表不,称为余伴随表不。 因为这个概念比较重要,我们将彳d‘0)=彳dG一寸简写为Kb)。因此由定义 (Kb)F,x):=F,彳dG一1弦), (2) 其中x∈g,F∈g‘,(F,x)代表线性函数F在向量X上的取值。 对于矩阵群,我们应用这样的事实:向量空间Mat。(R)上有一个非退化的、共轭 不变的双线) 因此,子空间gc 表关于双线性型C)的正交补: g上=乜∈拗。(R】0,B)=o,VB∈g}。 c Q上={0), 事实上,商空间尬乙(R)/o上可以等同于子空间VMat.(R),满足_vD 并R O aimV+dimg上=聆2。因此,Math(R)=Vg上。pV是zMat.(R)到V上的投影, 则余伴随表示K可以写成一种简单的形式: H (4) Kb):F p矿觇。1) 注记1.1如果我们选择的子空间V在4d(G)作用下保持不变(g半单或简约时 可以做到),则(4)中的投影可以省略。 例1.5用G表示G三G,R)中所有上三角矩阵(或严格上三角矩阵)构成的李群, 5 青岛大学硕士学位论文 子空间g上由严格上三角矩阵X构成,满足%=0,i

  j。 我们可以选矿是由所有下三角矩阵构成的空间。 此时,投影pV将任意矩阵投射到下三角部分,即将对角线。 因此,余伴随表示是以下形式: K(g):卜,pV(grg。1)F三角部分。 例1.6设G=。如G,R),则g由Mat。(R)中反对称矩阵x=一x。构成。 令V=g,(4)中的投影p矿可以省略(参考注记1.1): K(g)X=gXg一1.。 此时,余伴随表示等价于伴随表示。 注记1.2类似于李群的,李代数的余伴随作用也有相应的公式,设疋是李代数 g在对偶空间g’上的余伴随表示: (K伍扩,】,)=(F,一ad(X沙)=(F,旷,xD。 则对矩阵情况而言,有如下简单形式: eV兰g‘。 K。伍扩=pyQx,FD,X∈g,F 李代数的余伴随表示是我们要重点关注的对象,因此将在下一章中进行详细地 讨论。 6 第2章李代数余伴随表示的刻画 第2章李代数余伴随表示的刻画 代数,g‘是对偶空间,(,)表示gI。G)上的迹型:0,B)=护0B),A,Begl。@)。 命题2.1迹型(,)是gI。@)上的非退化,对称,不变双线性型。 egl。G) 证明非退化性:对么=k上。。∈gl。@),若0,B)=o,VB 则0,么7’)=乃∞7’)=∑《=o,推出%=o,l

  i,,≤玎,所以有彳=o; 对称性是显然的; 不变性:0,b】,c)=护(阻,b】c)=妒0陋,cd=0,陋,cd。 e 则有以下线性空间的同构: 记g上=臼∈91.@】0,b)=o,vbg}, 命题2.2叽%兰g’。 证明已知gl。@)是有限维线性空间,迹型(,)是gl。@)上的非退化双线性型, 设gi:@)是gl。@)的对偶空间,由高等代数的知识可知 h 伊:gl。@)jgcg),a0,.) 是同构映射。因为gl。@)是有限维的,对w∈g’,厂可以扩充为gl。@)上的线性函数, 所以映射 y:geg)专g’,0,·)b 0,·)。 是满射。令 盯=y。妒:gl。@)专g+, 则仃是满射,且 e e kero-=a gi。q)10,b)=o,vbg}=g上, 由同态基本定理可知 。 gi。吆坷。 /g‘ 命题2.3gl。@)和gi均是g一模。 青岛大学硕士学位论文 证明定义g在gi。@)上的作用: e va∈gl。q),vxg,x.a=防,彳】, 容易看出此作用满足李代数模定义的三个条件。 另夕h,vb∈g上,vx,】,∈g, @,bl】,)=一(陋,xly)=一佃,ix,】,d=o, 所以,防,b】∈g上,因此,g上是gl。@)的子模,也是g一模。 ’ 实际应用中,对于商空间91.@么,我们经常这样处理,找一个子空间 一 /g‘ yc gl。@),满足gl。g)=yog上,此时显然有 趟l%坷。/g 命题2.4v是g一模。 证明已知gl。@)=vog上,设py:gl。@)jy是投影映射,定义g在y上的作用: 验证(m3):防.】厂k=x.y.彳一】,彳.彳。 区,rb=pv(iix,】,】,彳d =p矿∽,p,么卫+[y,阻,xd =pyqx,p,aid—pv(it,防,彳d p矿@,陟,aid :py∽,pv(ir,彳蛐+py旺,pg上@,彳dd =pyqx,py@,彳蛐 =x.j,.彳 同理, py@,防,a]d=pv([y,pv@,彳加=】,彳.么, 结论得证。 设g的余伴随表示记为k,g+),线性函数f伍)表示成(f,x),根据定义有 (k伍)f,y)=(f,一aa(x)r)=(f,旷,xd,x,】,∈g,f∈g+。 第2章李代数余伴随表示的刻画 命题2.5作为g一模,v兰g‘。 证明根据命题2.2有线性映射 h 盯:gl。@)专g+,a 0,·)f。, 因为 gl。@)=vokero-, 所以 h f=盯i矿:矿专g‘,a 0,,)l。 是线性空间的同构。 r事实上是模同构:,y∈g,va∈v, (x.f0),】,) =(f0),陟,xb--(a,陟,彳d=噼,air) 。 =0矿噼,4ⅱ】,)+b上∽,么ⅱ】,) =(pv(ix,彳n】,) =p@.么)’l,) 综合命趑2.1·2.5,我们得剑f向的定理: gl。q)的子空间v写成一种简单的形式: 尼伍扩=pyqx,fd,x∈g,f∈v兰g‘。 例2.1 严格上三角矩阵构成。这是因为:不妨取g的一组基为eu,巳:….e,。,e2:,...e:∥.e。, ‰g:丛等型,设彳:∑%勺,%∈七,根据定义g上:臼∈gi。@】0,b):o,vb∈g), ‘ l受,,sh 则有彳∈g上§0,%)=0,1≤k≤z≤刀。解线,i≥,,所以, g上=n(n,k)由严格上三角矩阵构成。v可以选取所有下三角矩阵构成的集合,因此, 余伴随表示可以简单地描述为: 9 青岛大学硕士学位论文 h e g。 k伍):fp矿似,fp=防,fk三触影,f∈v兰g‘,vx 例2.2当g是半单李代数时,由定理1.1知gl。@)是完全可约的g一模,命题2.3 g上,此时余伴随表示是 证明了g上是g-模,所以有g一模的分解gl。@)=v(9 k,y),py可以省略, k伍):fh防,f】,f∈v兰g+,杆∈g。 例2.3设g=si(n,七)是迹为0的矩阵构成的李代数,g是单李代数(见参考文献 所以k/=g上。显然,廿n k/=go g={0)。因此,gl。@)=s,o,k)og上。应用定理2.1 选取y=g,则g兰g’,即余伴随表示同构于伴随表示。 10 第3章李超代数余伴随表示的刻画 第3章李超代数余伴随表示的刻画 假定本章中涉及到的代数结构所在的域都是复数域c,z::每,i}是二元群。 3.1李超代数预备知识 该节内容见参考文献[5]。 定义3.1向量空间y称为超空间,如果y具有z:阶化:v=%ok。对齐次元 口∈¨定义h=f,i∈z:表示口的次数。圪中的元素称为偶次齐次元,k中的元素 称为奇次齐次元。子空间形称为v的超子空间,如果形=‰o%∈v,并且形与v 有相容的z:阶化,即形∈¨,i∈z:。 注记3.1设矿是超空间,v∈v,本章中出现ivi时,总是假定v是y中的齐次元, 并将相关的公式线性推广到整个y上(在适用的情况下),不再具体说明。另外,如 果矿,形是超空间,那么从y到形的线性映射所构成的空间自然是一个超空间。 定义3.2超空间a=呜04,称为超代数(或z:阶化)代数,如果彳具有乘法 运算,且满足4彳,∈4+,,f,,∈z:。超代数彳的模m也是以z:阶化的方式去理解 的,即m=坞omi,且4mj∈m+,,f,,∈z2。类似地,超代数的子代数和理想 也以z:阶化的方式去理解。彳一模m与ⅳ之间的同态是指线性映射f:m一ⅳ满足 口∈a,m∈m。 厂gm)=矿m), 定义3.3超代数g=giogi称为李超代数,如果乘法【】满足以下两个条件:(对 齐次元a,b,c∈g) (1)反一超对称性:【口,6】-一(-1∥i圳[6,口】; (2)超jaeobi等式:k,[6,f卫=阽,6lc】+(-1尸i圳陆,【口,c卫。 vj c称为不变的,如果满足 定义3.4李超代数g上的双线性型bc):vx b@,blc):bg,[6,cd,va,b,c∈g。 1l 青岛大学硕士学位论文 o 注记3.2对于李超代数g=gigi,由定义可以看出偶次部分‰是李代数,因 g】=o, 此,如果gi=o,则g就是通常的李代数;相对的,如果gi=o,则必有b 即只有偶次部分的李超代数是交换的。 定义3.5设g,g’是李超代数,称偶次线性映射f:gjg’为李超代数同态,如 果f满足 厂@,6d=l厂g),邢)】,va,b∈g。 例3.1(1)设4=碡e4是结合超代数,可以将么变成李超代数,只要令 iba, 【口,6】:=口6一(_1炉i 口,bea是齐次元,并将【】双线)设g是李超代数,则励d(g)是结合超代数,由(1)知道它也具备李超代数 eg,由超jacobi等式 的结构,定义伴随映射以:gj砌d(g),ad(axb):=[口,b】,口,b 容易验证ad是李超代数同态,此时,g在自身的作用称为伴随作用。容易看出伴随 同态在‰上的限制口dl岛:‰j西矗b)是李代数同态,即gi在伴随作用下是玩一模。 定义3.6设矿=吒ok是复数域上的超空间,则勘d缈)是结合超代数,仿照例 3.1(1)对于齐次元口,b∈end(v),定义 iba, k,6】:=口6一(-1)l口h6i 并线性推广,则勘d缈)变成李超代数,称为一般线性李超代数,记作gi缈)。设 %=c”,k=c”,分别选取%,k的一组基按顺序(虼的基在前,k的基在后)排列 组成矿的一组基。在该组基下,gl(v)中的元素等同于如下形式的(聊+刀)×似+,z)阶 分块复矩阵: g=㈨, 12 第3章李超代数余伴随表示的刻画 其中口,6,c,d分别为mx肌,坍×刀,//x研,刀×力阶矩阵。记此形式的矩阵集合为 glbl,z),显然 gl(v)=gl(mi雅), 且有 gl(v}o兰k∈gibk);6=c=o)=gi如i玎x; gi缈)i兰k∈gibkl口=d=o)=gibk)i。 定义3.7设g=‰(dgi是李超代数,超空间y=%o瑶称为g一模,如果g在矿 c2∈c) 上的作用满足下述条件:(口,b∈g:v,gy∈v;c1 (m1)cla+c26p=cl(口.v)+c2(6.v); (m2)口.(cll-,+c:w)=c,(口.v)+c:g.w); (m3)(-1户7l=(_1一(_1∥; (m4)【口,blv=ah.v一(-1)朴1b.口.v。 注记3.3 gi缈),妒gxv)=口.1,是李超代数同态, v是g一模等价于线性映射妒:gj 此时称矽为李超代数g的表示。 jc 定义3.8设矿=吒。k是复数域上的超空间,y上的双线性映射bc):y×y 称为偶次的,如果满足曰∽,vj)--o,i+j=i。偶次双线性映射b(,)称为超对称的, 如果bi吒。吒是对称的,曰l_。k是反对称的。 一个的双线性映射 g:)=str(g,g:)。 c):gl(mln)xgl(mi玎)寸c,(gl 容易验证c)是glb{刀)上一个的非退化、超对称、不变双线性型。 青岛大学硕士学位论文 3.2李超代数余伴随表示的刻画 引理3.1 设g是李超代数,g‘是其对偶空间,定义g在g‘上的作用: b.厂k)=一(_1)ghi,if他,cd,vg,c∈g,w∈g’, 在此作用下,g‘成为g一模。 证明:因为g=gi(d gi,所以g‘=g;og;,其中 g;=扩∈g‘;厂b)=o}, g卜扫∈g+;p妣)=o)。 条件(mi)(m2)是明显的,下面验证(m3)(m4)。 (m3):当矧=石,i厂=石时,取icf=i,由作用定义容易推出kf=石; 同理,当矧=i,i卅=i时,取ici=i,推出kfl=石; 当蚓=i,l卅=石时,取lci=石,推出kf.=i; 当矧=石,ff.=i i孓j,取fcf=石,推出kf.=i。 综合得(_1)l盯l=(-1)gi(-1)川。 (m4):va,b,c∈g,v∈g‘, 肚,blsx

  End(9‘),可以写成一种简单的形式:,ad‘b):w 面的例子很好的体现了这一点。 例3.3设g是gl(m门)中由所有的上三角矩阵构成的李超子代数,具体地,g中 的元素是如下形式:g=口三],其中口’J分别为聊×聊,玎×刀阶上三角矩阵,6是 任意聊X阶矩阵。则 吼=骺三);口,删胁m彬玎阶上三觚阵)’ gi=托三言];6是任意聊×,z阶矩阵), 由线性代数的知识容易计算出 咖{(苦牡删鼽朋彤刀阶严格上三角矩阵), 酎=托三三];6是任意聊×甩阶矩阵); 取, ‰={(口牡删跏珊彬咒阶下三角矩阵), 彤=托兰三];c是任意刀×m阶矩阵); 令, 第3章李超代数余伴随表示的刻画 ∥2%出∥i, 则, 形=忙》扮别是珑m…阶下三角矩阵;c是任瓤聊阶复矩阵), 即形是glbl力)中由所有的下三角矩阵构成的集合,由定理3.1的证明过程可知它同 构于g‘,是g的对偶模。此时 岛:gIbl咒)j形 将一般的m+刀)×m+甩)阶分块复矩阵投影到下三角部分(将对角线)。因此余伴随表示 ad’:g-

  End(g‘), 有简单的形式: e E形。 g,W ad+(g):w卜--

  [g,w】下三角投影,Vg 19 结论 结论 在余伴随轨道研究中,有~个基本的结果:对一般线性李代数gIb),它的子代 数的对偶空间可以实现为gIG)的某个子空间。本文发现李超代数也有类似的结论: 假设gIbI挖)是一般线性李超代数,g是它的李超子代数,有对偶空间g‘,首先定 义了g在g‘上的余伴随作用,使其成为g一模,其次证明了gIbI强)中存在子空间形可 以作成g一模,并模同构于g‘,最后,给出了代表性的例子,显示了这样刻画余伴 随表示的优越性。因此,一般线性李超代数gIbl刀)的子代数的对偶空间也可以实现 为gl白I砼)的子空间,这样,对偶空间的刻画变得直观具体,对李超代数表示论的研 究有积极煮!;[。 20 参考文献 参考文献 toLie and York: [1]JamesE.Humphreys.IntroductionAlgebra TheorylM].New Representation 972. Springer-Verlag,1 【2】孟道骥.复半单李代数引论[M】.北京:北京大学出版社,1998. Lie Mat.Naukl [3】AA.Kirillov.Unitaryrepresentationsofnilpotentgroups[M].Uspekhi7,1962. onOrbit transl.inRussianMath 962. 【4】AA.Kiriliov.LecturesMethod[M].English 7,1 Surveysl and ofLie 【5]Shun—Jen Wang.Dualities Cheng,Weiqiang RepresentationsSuperalgebras[M]. AmericanMathematical11. Society,20 Kac.Lie 【6]V.G superalgebras[M].Adv,Math.26,1977. 【7]M.Scheunert.TheTheoryofLie Notesin superalgebras.Lecture andJ.H.Kwon.GradedLie OrbitLie [8]S.J.Kang superalgebras,SupertraceFormula,and superalgebras. 998. arXiv:math.RT/9809025,1 andA.Ram.TensorProduct for Lie 【9]G.Benkart,C.L.Shader RepresentationsOrthosympleticsuper- 996. algebras.Preprint,1 【10]:lL京大学数学系.高等代数(第三版).北京,高等教育出版社,2003. 【1 984. 1]SergeLang,Algebras[M],Massachusetts,Addison·WesleyPublishingCompany,Incl With ofAlberta [13】R.V.Moody.Lie Triangular Edmonton, bialgebras Decompositions.University 994. Canada,1 [14】严志达.半单李群李代数表示论.上海:上海科学技术出版社,1963. CarstenJantzen.Lectures on 【15]Jens QuantumGroups[M].American,MathematicalSociety,1995. totheOrbit 【16]A.A.Kirillov.Introduction 993. Providence,RI,1 21 攻读学位期间的研究成果 攻读学位期间的研究成果 张静,王宪栋,李超代数余伴随表示的刻画[J].青岛大学学报(自然科学版), 22 致谢 致谢 本论文是在导师王宪栋教授的悉心指导下完成的,感谢王老师三年来对我的 培养和教诲。王老师对学科前沿敏锐的洞察力和渊博的学识给我留下了深刻的印 象,他严谨的治学态度以及孜孜不倦的忘我工作的精神深深影响了我,这些都使 我终身受益。值此,谨向恩师致以我诚挚的敬意和感谢! 同时,我要感谢张娟娟老师,感谢她在论文设计和课程学习中给予我的指导 和帮助;感谢曹海军老师在课程学习中给予我的指导和帮助。 最后,感谢一直支持包容我的家人和朋友1 23 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明,所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果。文 中依法引用他人的成果,均已做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法律意 义上已属于他人的任何形式的研究成果,也不包含本人已用于其他学位申请的论 文或成果。 本人如违反上述声明,愿意承担由此引发的一切责任和后果。 论文作者签名: 狄带 日期:如B年多月j口 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品,知识产权归属学 校。学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利。本 人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时,署名单 位仍然为青岛大学。 本学位论文属于: 保密口,在 年解密后适用于本声明。 不保密口。 (请在以上方框内打“√”) 论文作者签名: 秋韵 日期:如13年占月rEl J 导师签名:4-气彦铭 日期:历7尹臼,咽 (本声明的版权归青岛大学所有,未经许可,任何单位及任何个人不得擅自使用) 24

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